Ich denke, ich habe es:
Ich lasse den Faktor 1/Pi erstmal überall weg, den schreiben wir zum Schluss wieder dran, da der am Integrieren ja eh nichts ändert.
Zuerst ergänzt du quadratisch unter der Wurzel:
x - x^2 = -(x^2 -x) = -(x^2 - x + (1/2)^2 - (1/2)^2) = -(x^2 - x + (1/2)^2) + (1/2)^2 = -(x - 1/2)^2 + 1/4
Also hast du noch:
1/ ( 1/4 - (x - 1/2)^2)^(1/2)
Das möchtest du in die Gestalt 1/ ( 1 - (bla)^2)^(1/2) bringen.
Dafür musst du im Nenner mit 2 erweitern (da 2 unter die Wurzel gezogen eine 4 gibt, sodass das 1/4 zu 1/4 * 4 = 1 wird):
Hier nur der Nenner:
(1/4 - (x - 1/2)^2)^(1/2) = 1/2 * (2^2 * 1/4 - (2*(x-1/2))^2)^(1/2) = 1/2 * (1 - (2x - 1)^2)^(1/2)
Zusammen mit dem Zähler (der noch immer 1 ist) ergibt das als neuen Integranden:
1 / (1/2 * (1 - (2x - 1)^2)^(1/2)) = 2* (1 - (2x-1)^2)^(-1/2)
Den Faktor 2 ziehen wir mit vor das Integral, damit ist unser Vorfaktor nun 2/Pi, wie er es auch hinterher sein soll.
Das müssen wir jetzt integrieren:
(1 - (2x - 1)^2)^(-1/2)
Nun kommt die Substitution:
Wir setzen t = 2x - 1, also werden unsere Grenzen statt a und b nun 2a -1 und 2b - 1.
Außerdem das Differential umschreiben:
Aus t = 2x - 1 folgt dt / dx = 2, also ist dx = 1/2 * dt
Das 1/2 kürzt gerade das 2 aus dem Vorfaktor 2/Pi.
Und damit lautet unser neues Integral:
Integral von 2a-1 bis 2b-1 über (1 - t^2)^(-1/2) dt
Die Stammfunktion zu (1 - t^2)^(-1/2) ist der arcsin.
Da setzen wir unsere Grenzen ein, und erhalten:
arcsin(2b-1) - arcsin(2a-1)
Jetzt kommt noch dazu, dass arcsin(2b-1) = 2*arcsin( b^(1/2)) ist, das Gleiche gilt auch mit a.
Mit unserem Vorfaktor 1/Pi bekommst du dann:
2/Pi * [arcsin(wurzel(b)) - arcsin(wurzel(a))]
und genau das wolltest du ja haben.
Ich hoffe, du kommst damit nun besser zurecht.
Alle entscheidenden Schritte habe ich dafür extra rot markiert, so kannst du die erst allein versuchen, und dann abgleichen.